有限数学示例

$(- 3, 8)$

解题步骤 1

要求包含该点的指数函数 $f (x) = a^{x}$ ，请将函数中的 $f (x)$ 设为该点的 $y$ 值 $8$ ，并将 $x$ 设为该点的 $x$ 值 $- 3$ 。

$8 = a^{- 3}$

解题步骤 2

求解 $a$ 的方程。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $a^{- 3} = 8$ 。

$a^{- 3} = 8$

解题步骤 2.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{a^{3}} = 8$

解题步骤 2.3

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 2.3.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$a^{3}, 1$

解题步骤 2.3.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$a^{3}$

解题步骤 2.4

将 $\frac{1}{a^{3}} = 8$ 中的每一项乘以 $a^{3}$ 以消去分数。

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解题步骤 2.4.1

将 $\frac{1}{a^{3}} = 8$ 中的每一项乘以 $a^{3}$ 。

$\frac{1}{a^{3}} a^{3} = 8 a^{3}$

解题步骤 2.4.2

化简左边。

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解题步骤 2.4.2.1

约去 $a^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{1}{a^{3}} a^{3} = 8 a^{3}$

解题步骤 2.4.2.1.2

重写表达式。

$1 = 8 a^{3}$

解题步骤 2.5

求解方程。

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解题步骤 2.5.1

将方程重写为 $8 a^{3} = 1$ 。

$8 a^{3} = 1$

解题步骤 2.5.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$8 a^{3} - 1 = 0$

解题步骤 2.5.3

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.5.3.1

将 $8 a^{3}$ 重写为 ${(2 a)}^{3}$ 。

${(2 a)}^{3} - 1 = 0$

解题步骤 2.5.3.2

将 $1$ 重写为 $1^{3}$ 。

${(2 a)}^{3} - 1^{3} = 0$

解题步骤 2.5.3.3

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = 2 a$ 和 $b = 1$ 。

$(2 a - 1) ({(2 a)}^{2} + 2 a \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

解题步骤 2.5.3.4

化简。

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解题步骤 2.5.3.4.1

对 $2 a$ 运用乘积法则。

$(2 a - 1) (2^{2} a^{2} + 2 a \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

解题步骤 2.5.3.4.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$(2 a - 1) (4 a^{2} + 2 a \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

解题步骤 2.5.3.4.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$(2 a - 1) (4 a^{2} + 2 a + 1^{2}) = 0$

解题步骤 2.5.3.4.4

一的任意次幂都为一。

$(2 a - 1) (4 a^{2} + 2 a + 1) = 0$

解题步骤 2.5.4

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$2 a - 1 = 0$

$4 a^{2} + 2 a + 1 = 0$

解题步骤 2.5.5

将 $2 a - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $a$ 。

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解题步骤 2.5.5.1

将 $2 a - 1$ 设为等于 $0$ 。

$2 a - 1 = 0$

解题步骤 2.5.5.2

求解 $a$ 的 $2 a - 1 = 0$ 。

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解题步骤 2.5.5.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$2 a = 1$

解题步骤 2.5.5.2.2

将 $2 a = 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 2.5.5.2.2.1

将 $2 a = 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 a}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 2.5.5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.5.5.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.5.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 a}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 2.5.5.2.2.2.1.2

用 $a$ 除以 $1$ 。

$a = \frac{1}{2}$

解题步骤 2.5.6

将 $4 a^{2} + 2 a + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $a$ 。

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解题步骤 2.5.6.1

将 $4 a^{2} + 2 a + 1$ 设为等于 $0$ 。

$4 a^{2} + 2 a + 1 = 0$

解题步骤 2.5.6.2

求解 $a$ 的 $4 a^{2} + 2 a + 1 = 0$ 。

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解题步骤 2.5.6.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2.5.6.2.2

将 $a = 4$ 、 $b = 2$ 和 $c = 1$ 的值代入二次公式中并求解 $a$ 。

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 1)}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.5.6.2.3

化简。

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解题步骤 2.5.6.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 2.5.6.2.3.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.5.6.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ 。

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解题步骤 2.5.6.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.5.6.2.3.1.2.2

将 $- 16$ 乘以 $1$ 。

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.5.6.2.3.1.3

从 $4$ 中减去 $16$ 。

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.5.6.2.3.1.4

将 $- 12$ 重写为 $- 1 (12)$ 。

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.5.6.2.3.1.5

将 $\sqrt{- 1 (12)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ 。

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.5.6.2.3.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$a = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.5.6.2.3.1.7

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 2.5.6.2.3.1.7.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$a = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.5.6.2.3.1.7.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$a = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.5.6.2.3.1.8

从根式下提出各项。

$a = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.5.6.2.3.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$a = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.5.6.2.3.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$a = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$

解题步骤 2.5.6.2.3.3

化简 $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$ 。

$a = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 2.5.6.2.4

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 2.5.6.2.4.1

化简分子。

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解题步骤 2.5.6.2.4.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.5.6.2.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ 。

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解题步骤 2.5.6.2.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.5.6.2.4.1.2.2

将 $- 16$ 乘以 $1$ 。

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.5.6.2.4.1.3

从 $4$ 中减去 $16$ 。

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.5.6.2.4.1.4

将 $- 12$ 重写为 $- 1 (12)$ 。

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.5.6.2.4.1.5

将 $\sqrt{- 1 (12)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ 。

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.5.6.2.4.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$a = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.5.6.2.4.1.7

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 2.5.6.2.4.1.7.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$a = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.5.6.2.4.1.7.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$a = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.5.6.2.4.1.8

从根式下提出各项。

$a = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.5.6.2.4.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$a = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.5.6.2.4.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$a = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$

解题步骤 2.5.6.2.4.3

化简 $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$ 。

$a = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 2.5.6.2.4.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$a = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 2.5.6.2.4.5

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$a = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 2.5.6.2.4.6

从 $i \sqrt{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$a = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{4}$

解题步骤 2.5.6.2.4.7

从 $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$a = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{4}$

解题步骤 2.5.6.2.4.8

将负号移到分数的前面。

$a = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 2.5.6.2.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 2.5.6.2.5.1

化简分子。

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解题步骤 2.5.6.2.5.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.5.6.2.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ 。

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解题步骤 2.5.6.2.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.5.6.2.5.1.2.2

将 $- 16$ 乘以 $1$ 。

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.5.6.2.5.1.3

从 $4$ 中减去 $16$ 。

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.5.6.2.5.1.4

将 $- 12$ 重写为 $- 1 (12)$ 。

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.5.6.2.5.1.5

将 $\sqrt{- 1 (12)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ 。

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.5.6.2.5.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$a = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.5.6.2.5.1.7

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 2.5.6.2.5.1.7.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$a = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.5.6.2.5.1.7.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$a = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.5.6.2.5.1.8

从根式下提出各项。

$a = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.5.6.2.5.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$a = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.5.6.2.5.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$a = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$

解题步骤 2.5.6.2.5.3

化简 $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$ 。

$a = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 2.5.6.2.5.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$a = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 2.5.6.2.5.5

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$a = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 2.5.6.2.5.6

从 $- i \sqrt{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$a = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{4}$

解题步骤 2.5.6.2.5.7

从 $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$a = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{4}$

解题步骤 2.5.6.2.5.8

将负号移到分数的前面。

$a = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 2.5.6.2.6

最终答案为两个解的组合。

$a = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 2.5.7

最终解为使 $(2 a - 1) (4 a^{2} + 2 a + 1) = 0$ 成立的所有值。

$a = \frac{1}{2}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 2.6

去掉所有含虚数分量的值。

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解题步骤 2.6.1

不存在虚数部分。将 $\frac{1}{2}$ 加至最终答案。

$\frac{1}{2}$ 是一个实数

解题步骤 2.6.2

字母 $i$ 表示虚数部分而不是实数。切勿将 $- \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}$ 加入到最终答案中。

$- \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}$ 不是实数

解题步骤 2.6.3

字母 $i$ 表示虚数部分而不是实数。切勿将 $- \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$ 加入到最终答案中。

$- \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$ 不是实数

解题步骤 2.6.4

最终答案为不含虚部的数值列表。

$a = \frac{1}{2}$

解题步骤 3

将 $a$ 的每个值代入回函数 $f (x) = a^{x}$ 中，以求出任何可能的指数函数。

$f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$

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